тема: 1
Максимални и минимални стойности на функцията. Алгоритъмът, за да намерите най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция в интервала.
Ключови думи: най-голямата стойност на най-малката стойност на функцията, неподвижна точка, критичната точка.
Говори се, че функцията. определена на интервал. тя достига до най-високата си (най-ниска) стойност, ако има точка. принадлежащи към този интервал, така че, за всички неравенството.
Непрекъсната функция на интервала, тя достига до своя максимум и минимални стойности.
Най-голямата стойност и най-малката стойност M M на непрекъснатост може да бъде постигнато както в сегмента и в краищата си. Ако най-голямата (най-малката) стойността на функцията достига точка във вътрешността на сегмента, тази точка е екстремум.
Алгоритъмът, за да намерите най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция в интервала:
2. Намерете точката, в която или не съществува, и разчитам на тези, които са в рамките на сегмента;
3. изчисляване на стойностите на точките, получени в етап 2 и в крайните точки и да изберете най-високата и най-ниската; те са съответно най-високите и най-ниските стойности на функцията на интервала. който може да бъде описан, както следва :. ,
Когато натоварен със задачата да намери. Непрекъснато на функция. е решен от същото правило, че съответната проблема за интервал. Разликата: третата фаза вместо да изчисляват стойностите на функцията в крайните точки са ограничения функция при приближаване на краищата на интервала.
Понякога, за да открие най-високите или най-ниските стойности на непрекъсната функция на интервала от полза в два отчета:
1. ако функцията е в интервала X е само една точка на екстремни. Нещо повече, тази висока точка, а след това - най-голямата стойност на X в интервал;
2. ако функцията е в интервала X е само една точка на екстремни. И този минимум точка, а след това - най-малката стойност на функцията за х интервал.
Пример 1. За да се изследва функцията на най-голямата и най-малката стойност на X в предварително определен интервал.
Решение. диференцируема функция на изследването е непрекъсната от сегмента, така че
1. Да се намери производната :.
2. Ние намерите стационарни точки (в което производното е нула).
Point - на мястото на евентуален крайност. В същото време. ,
3. Да се намерят стойностите на функцията в точката и в крайните точки и изберете сред тях, най-големите и най-малките стойности. Тъй като. , след това. ,
Пример 2. Намерете най-голямата стойност на функцията.
1. Да се намери производната на функцията :.
2. Намираме стационарни пунктове :. Точката - производна не съществува, обаче. По този начин, на даден набор има уникална точка на подозрителен крайност.
3. За да се създаде таблица:
Виждаме, че - точката на максимална функция. Тъй - единственият високата точка, а след това.
1) За да се изследва функцията на максималните и минималните стойности в рамките на този интервал:
2) Виж точка графика на функцията. сумата от разстоянията от които на Y-оста и да насочват най-ниската.
3) От необходимостта да се намали гранит пиедестал с формата на правоъгълен паралелепипед, височината на които трябва да бъдат равни на диагонала на основата и на базовата площ - 4 кв.м. За кои стойности на страни на зоната на база на повърхността на най-малкия пиедестала.
4) определяне на стойността на така че сумата от квадратите на корените на трином е най-ниската.
5) Да се намерят всички стойности на празнина. при всеки един от които по-голямата корена на уравнението се най-голямата стойност.
Тестовите въпроси за 1:
1. Какво се разбира под най-малката стойност на функцията?.
2. Какво се разбира под най-голямата стойност на функцията?
3. В каква точки на функцията на интервал може да направи най-добрата стойност?
4. Какво е различен алгоритъм за намиране на оптималните стойности на интервала на алгоритъма за намиране на оптималните стойности на функцията в интервала?
Тема 2.Lokalny екстремум на функции на много променливи. Максимални и минимални стойности на функцията в ограничена затворена област. Ограничен оптимизация
Концепцията за местен екстремум на функция на много променливи. Необходими и достатъчни условия за локален екстремум. А достатъчно условие за локален екстремум функция на две променливи. Максимумът на алгоритъм за търсене и минималната стойност на функция в ogranichennoyzamknutoy област. Ограничен оптимизация. метод на Лагранж множител.
Основните условия: локален минимум, локален максимум точки, квадратното форма на втората разлика ред, условно екстремум ограничение уравнения, функция на Лагранж.
1) Ние считаме, че тази функция. определено на снимачната площадка.
1. Определяне точка нарича точката на местната екстремум. ако
Определението означава, че нарастването на функцията не променя знак в околностите на екстремум ако. след това при максимално, ако - най-малко.
Теорема 1 (необходимо условие за локален екстремум). Нека функцията има локален екстремум точка. Ако тя имаше в този момент частните производни, те са равни на нула.
2. Определяне на точката, в която всички първи ред частични производни са нула, наречен неподвижно.
3. Определяне на точката, в която всички от първи порядък частните производни на равни на нула, или най-малко един от тези частни производни не съществува, се нарича критични.
Забележка 1. функцията е диференцируема в неподвижна точка, той има диференциал равна на нула. Обратното също е вярно: изчезващия разлика в някакъв момент да стационарност тази точка.
Теорема 2. Забележка Състояние 1 не е достатъчно. Помислете за функцията. Точката е определена за тази функция, тъй като в този момент и двете негови частични производни от първи ред и нула. Въпреки това, той няма да е точка екстремум. Всъщност ,. но във всеки квартал на точка е точката, в която функцията отнема положителни стойности и момента, в който функцията отнема отрицателна стойност. Това се вижда лесно, ако се построи графика на функцията - хиперболичен параболоид.
Теорема 2 (достатъчно условие за местен екстремум). Нека функцията ф (х) е два пъти диференцируема в неподвижна точка. Ако вторият разлика в този момент там е знак-категорично квадратното форма на диференциалите на независимите променливи, функцията има екстремна: максимума, ако най-малко и ако.
За функция на две променливи най-удобните достатъчни условия дава следната версия на тази теорема:
Теорема 2 (достатъчно условие за локален екстремум на функция на две променливи). Да - критична точка в квартал на функцията на точка има непрекъснати частни производни до втори ред. означаваме
1) ако. след точката не е място за екстремум;
2) ако. След точка функцията има минимум;
3) ако. След точка функцията има максимална;
4), ако. тогава не заключение относно критичната точка не може да бъде направено, и са необходими повече изследвания.
Пример. Намери екстремуми на функцията:
Решение. 1) Функцията дефинирано навсякъде. Неговите първи ред частни производни, както и съществуват навсякъде. Решаването на системата от уравнения. Ние откриваме две критични точки и.
За проучване на критичните точки прилагат Теорема 2. Имаме
Ето защо, на мястото, на функцията има минимален, т.е..
Ние разглеждаме критичната точка:
Следователно второто критичната точка не е точка екстремум на функцията.
2) Функцията дефинирано навсякъде. Неговите първи ред частни производни, както и съществуват навсякъде. Решаването на системата от уравнения. Ние намираме една единствена критична точка.
За да се изследва критичната точка опитаме да приложим Теорема 2. Имаме
Установяване на наличие или липса на екстремум в точката с помощта на Теорема 2 провали.
Ние разглеждаме знака на нарастване на функцията на адрес:
Ако. след това; ако. след това. Тъй като това не запазва знака в квартала. след това в този момент функцията не е крайност.
2) алгоритъм за търсене е най-големите и най-малките стойности на функцията в ogranichennoyzamknutoy поле се свежда до решаването на три задачи:
1. Определяне на стационарни пункта в рамките на региона.
2. Определяне на стационарни пункта на границата.
3. Изберете максималните и минималните стойности на функцията на тези точки.
Вземем примера на задача, в зависимост от две променливи. Да предположим, че искате да намерите максималните и минималните стойности на функция Z = F (х; у), дефинирано в затворено региона с граница. един от двамата.
2. Решете уравнението. или.
3. Изберете максималните и минималните стойности на функцията в точките, получени.
1. фиксирана точка (0, у). (Fuzzy екстремум).
3) е ограничено оптимизация. Да разгледаме функцията
при условие, че неговите аргументи не са независими променливи, и са свързани с:
Тези съотношения се наричат условията на комуникация. (Функцията за икономика и се нарича целта и ограничаващите уравнения - ограничения). Нека координатите на точки не отговаря на уравнения (2).
Определение. Функция (1) има на мястото на относителната минимум (максимум) при условията на комуникация (2), ако съществува точка квартал. че за всяка точка () на този квартал, чиито координати удовлетворяват уравненията (2), следното неравенство.
С други думи, условния максимум (минимум) - е най-голямата (най-малката) стойността на функцията в точката на никаква връзка с всички точки на една точка квартал. но само за тези от тях, които са свързани помежду си условия за комуникация.
Проблемът с условни екстремни характеристики може да бъде решен чрез елиминиране на променливите. Този метод се състои в това, че уравненията на условията на променливи комуникационни изразени по отношение на другите променливи (ако е възможно), да го заменят, намерени в функцията променливи и решаване на проблема с до екстремум на функция променливи.
Пример. Чрез изключване на променливите да намерите екстремум на функцията в комуникационни условия
Решение. От връзката условия намерят. Заместването на функцията, стигаме до функциите на една променлива. , за които ние ще обсъдим въпроса за безусловното екстремум. От кога. функцията има единична точка на възможно крайно. Тъй като точката функцията има минимум. Тъй като условията на комуникационни намерят подходящи стойности. , Така, функцията при определени комуникационни условия е в точката (-1,1,0), най-малко, с
метод на Лагранж. Проблемът на условно екстремум функция (1) предмет (2) е еквивалентно на обикновен екстремум Лагранж
(- наречен на Лагранж множители.
Необходими условия за условно екстремум
изразена в системата уравнения:
относително неизвестен. Ако - разтвор на (3), е възможно функция екстремум точка (1) предмет (2).
Достатъчни условия за ограничено оптимизиране, свързани с изучаването на знака на втората разлика на Лагранж
Стойностите за всяка система. получен от (3) при условие, че отговарят на уравнения
Функцията е условно максимум в точката. ако за всички възможни стойности. отговарят на следните условия (4) и има условно минимално условие връзка не и двете равни на нула, следното неравенство (квадратна форма отрицателно дефиниран) и относителната минимум, ако тези условия (квадратна форма е положителни определен) при функцията точка (1) (2) ако - променлив квадратна форма, след това при функцията (1) не
метод ПРИМЕР 1 Lagrange да се намери функция екстремум, когато комуникационни условия
Решение. Ние формират Лагранж
и разгледа системата уравнения
Тя има уникално решение, което е - единствената точка от възможни крайности на функция в определено комуникационни условия. Ние изчисляваме втория диференциал Lagrange функцията и заместване и. намерено от първото съобщение от уравнението, ние получаваме положително определена квадратна форма на променлива. От това следва, че при определени условия се дължи на мястото на относителната минимум.
Пример 2. На елипсоида да се намери точка, която е най-отдалечена от точката (0,0,3).
Решение. Разстоянието между точките и (0,0,3) се определя от претенциите. Затова първоначалният проблем е равностойно на проблема с условни максимално функционални предоставили връзки. Ние формират Лагранж
и разгледа системата уравнения:
Тъй като повечето елипсоид удължени по оста. абсцисата на желаната точка не може да бъде нула, е това. Ето защо, от първото уравнение, от това следва, че. След това от втора и трета уравнения на системата имаме от следователно последното уравнение на системата е, функцията има две точки на евентуална крайност. От уравнение ограничение получаваме. от сега ние изчисляваме втората Лагранж разлика
Ние замени. координати на точката и експресията. е отрицателно определена квадратното форма в две променливи. , От това следва, че функцията има максимален условни точки за дадените условия за комуникация, т.е. на елипсоида има две точки най-отдалечените от точката (0,0,3).
Забележка. Очевидно е условен екстремум проблем и намирането на най-големите и най-малките стойности в затворено региона граничи тясно свързани.
По този начин, Т Р1 - минимум .; т в P2 -. макс.
Забележка. По този проблем, втората разлика е винаги постоянен знак квадратното форма в отношението между затова разликите:
не се използва в достатъчно условие за изследването. Въпреки това, в случай на променлив втория диференциален съотношение трябва да бъдат взети под внимание.
2) подписан формуляр не екстремум.
(Забележете, че няма връзка ди = + 2xdx DZ квадратна форма в първия случай ще се редуват).
Тестови въпроси по темата: 2
1. Дайте на концепцията за местното екстремум на функция на много променливи.
2. Определяне на необходимите условия за локален екстремум.
3. Определяне на достатъчни условия за локален екстремум.
4. Какви са основните етапи на търсенето на най-големите и най-малките стойности на функцията в ogranichennoyzamknutoy област.
5. Какво се разбира под условие екстремум?