Криви от втори ред

Теорема. За всяка крива има правоъгълна координатна система, в която се намира на един от следните (наречени каноничните уравнения):

Доказателство. За да се докаже с резултати показват как общото уравнение (4) крива на канонична форма.

Лема. Подходящо въртене на координатните оси могат да бъдат постигнати, че 12 = 0 = 0>. Баркод означава коефициент уравнение в новата координатна система.

Доказателство (лема). Ако 12 = 0 = 0>. не се изисква въртене. В противен случай, помислете за произволно въртене

"(У F. X '") = F (х (х' .. Y ') Y (х.' Y ')) = = на 11 (COS ⁡ φ х "- SIN ⁡ φ Y') 2 + 2 12 (COS ⁡ φ х "- SIN ⁡ φ Y ') (син ⁡ φ X' + защото ⁡ φ Y ') + 22 (син ⁡ φ X' + защото ⁡ φ Y ') 2 + 2 1 ( защото ⁡ φ х "- SIN ⁡ φ Y ') + 2 2 (син ⁡ φ X' + защото ⁡ φ Y ') + 0 F' (х ', у') = F \ наляво (х (х" , Y '), у (х', у ') \ дясно) = \\ = а _ (\ защото \ varphi х' - \ грях \ varphi Y ') ^ + 2а _ (\ защото \ varphi х' - \ грях \ varphi Y ') (\ грях \ varphi х "+ \ защото \ varphi Y') + на _ (\ грях \ varphi х" + \ защото \ varphi Y ') ^ + 2а _ (\ защото \ varphi х' - \ грях \ varphi Y ') + 2а _ (\ грях \ varphi х "+ \ защото \ varphi Y') + a_ \ край >>

След разширяване скоби и намаляване на сходни условия могат да бъдат намерени коефициент от 2 х 'Y'. т.е., на 12 '>:

12-'= - на 11 защото ⁡ φ грях ⁡ φ + 12-(COS 2 ⁡ φ - SIN 2 ⁡ φ) + на 22 защото ⁡ φ грях ⁡ φ = (22 - на 11 грях ⁡ 2 φ 2 + на 12 защото ⁡ 2 φ = -a_ \ защото \ varphi грях \ varphi \ + а _ (\ защото ^ \ varphi - \ грях ^ \ varphi) + a_ \ защото \ varphi грях \ varphi \ = (a_-а> + a_ \ защото 2 \ varphi>

Ние се върнете към доказателството на теоремата. В съответствие с последната Лема всяко уравнение от втори ред може да бъде намален до един от трите случая, посочени в него. Нека разгледаме всеки един от тях

Invariants на полинома на втора степен по право

Ортогонално инвариантна е функция на коефициентите на полином Е. която не се променя по време на прехода от една декартова координатна система в друга.

Ортогонални инварианти са следните три функции:

Характерен полином е полином χ = | [A 11 - λ 12 12 22 - λ] | а _- \ ламбда \ а _ \\ a_ \ а _- \ ламбда \ край> \ дясна |>. Може да се покаже, че χ = λ 2 - S λ + δ -S \ ламбда + \ делта>.

В доказателството на теоремата на намаляване на каноничната форма е доказано, че всяко уравнение от втори ред може да доведе до един от трите вида. Тъй като се прилага само за ортогонална трансформация, инварианти са запазени. Invariants до таблица на стойностите за различни видове: