Разпределение на непрекъсната случайна величина

Случайна променлива се нарича променлива, която може да поеме тези или други ценности в зависимост от различни обстоятелства.

Случайни стойности са разделени в дискретни (или прекъснат) и непрекъснат.

Случайна променлива се нарича постоянен. ако може да поеме никаква стойност от всеки ограничен или неограничен период от време. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се уточни всички възможни стойности, следователно тези стойности показват интервали, които са свързани с някои вероятности.

Примери за непрекъснати случайни величини могат да бъдат: диаметър части обърна към предварително определен размер, височина, разстояние и т.н. на полета на снаряд.

случайна променлива функция (и отделно и непрекъснато) или интегрирана функция е функция, която определя вероятността, че стойността на случайна променлива X е по-малка или равна на х гранична стойност.

Плътност veroyatnostif непрекъсната случайна променлива (х) е производно на неговата функция разпределение:

Знаейки функцията плътност, е възможно да се намери вероятността, че стойността на постоянно променливата принадлежи към затворения интервал [а; Ь]:

вероятност, че непрекъснато случайна променлива X приема всяка стойност в интервала [а; Ь], е равен на определен интеграл на неговата вероятност плътност в диапазона от А до В:

получен от това, че

Интегралът в това уравнение изразява вероятността случайна променлива приема всяка стойност от интервала. Но това събитие е от значение, и следователно вероятността е равен на единица.

Пример 1. Непрекъснато вероятност плътност на случайна променлива X се определя от уравнението, където. А. Виж коефициент вероятност, че непрекъснато случайна променлива X приема всяка стойност в интервала] 0, 5 [непрекъсната функция на разпределение на случайната промяна X.

Решение. Чрез хипотеза, ние получаваме равенството

Следователно, когато. По този начин,

Сега ние откриваме, вероятността, че непрекъсната случайна променлива X приема всяка стойност в интервала] 0, 5 [:

Сега ние се функцията за разпределение на случайната променлива:

Пример 2. Виж на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива X., която получава само не-отрицателни стойности, и функцията разпределение.

Решение. По дефиниция, ние получаваме плътността на вероятността

когато и като F (х) за тези стойности на х е константа (нула).

Графиката на плътността на вероятността непрекъсната случайна променлива, наречена си крива на разпределението (фиг. По-долу).

Квадратни форми (показани излюпени), обградени от кривата, линията съставени от точки А и В, перпендикулярна на оста х и х-ос. графично представлява вероятността, че стойността на непрекъсната случайна променлива X е в границите от до б.

От това показва следните свойства на функцията на плътността на вероятността:

• стойност на F функция (х) положително число, което е извън съществуването на разпределение е равен на нула;
• фигура област, която ограничава графиката на F функция (х) и х-ос. е една единица :.

непрекъсната случайна променлива разпределение може да се характеризира чрез средните стойности и варианти на индекси и други показатели.

Средноаритметичната стойност на всички възможни непрекъсната случайна величина, наречена неговото очакване. или означавано.

Вероятността за очакване H. непрекъсната плътност на случайна променлива, която е функция F (х), се установи, като стойността на интеграла

ако тя се доближава абсолютно.

Вариацията е стойността на интеграла

ако тя клони.

Стандартното отклонение на непрекъсната случайна променлива определя като средната аритметична стойност на корен квадратен от дисперсията.

Пример 3 се дава непрекъснато случайна променлива. Вероятността плътност и останалите стойности х. Намери своята средна стойност и дисперсия.

Решение. Първо ние определяме параметър. Разделяне на интервала на интегриране на части, получаваме

тъй като другите две интеграли е равно на нула поради изчезване вероятност плътност в тези граници. Ето защо,

Когато намерим необходимия математическото очакване на случайна променлива:

(Граници интеграция са 0 и 10 са монтирани върху същите причини като когато параметъра). Ние изчисли дисперсията при а = 5 и е (х) = 0,1:

непрекъсната случайна променлива равномерно разпределение е разпределението в което стойността на случайната променлива от двете страни и са ограничени в границите на интервала имат еднаква вероятност. Това означава, че в този диапазон, плътността на вероятността е постоянна.

По този начин равномерно разпределение на плътността на вероятността е дадено от

функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива с равномерно разпределение е от формата

Разполага с равномерно разпределение:

• Средната (очакване);
• дисперсия;
• стандартно отклонение;
• veroyanost че стойността ще бъде непрекъсната случайна променлива в предварително определен диапазон, където.

Пример 4 Наблюденията показват, че теглото на кутията, предназначен за транспортиране на зеленчуци, е равномерно разпределена случайна променлива в обхвата 985-1025 гр произволно избрани едно чекмедже. Намери характеристики равномерно разпределени sluchanoy количества при условия, които ще бъдат определени в решението.

Решение. Ние считаме, вероятността, че теглото на кутията ще бъде в диапазона 995-1005

Ние считаме, средната стойност на непрекъсната променлива:

Ние считаме, стандартното отклонение:

Определяне на какъв процент от теглото на кутии, разположени на разстояние едно стандартно отклонение от средната стойност (т.е. в диапазона от ..):

Нормално разпределение на непрекъсната случайна величина е функция на разпределение плътност, която е:

където х - стойност промяна стойност - средно - стандартно отклонение, Е = 2,71828. - естествен логаритъм база = 3,1416.

Фигурата по-долу показва функция на плътността на нормално разпределение графика се получава с проба от данни на изчисления в софтуерния пакет STATISTICA. Той хистограма колони представляват стойностите на пробата, разпределението на което е близко (или, както се казва в статистиката различават незначително от) до Функцията плътност на действителните графика нормално разпределение, което представлява кривата на червен цвят.

За да се увеличи на снимката можете да кликнете върху левия бутон на мишката.

функция плътност на нормалното разпределение

• за всички стойности на плътността на аргумент функция е положителен;
• ако той се стреми към безкрайността, след Streit функцията плътност на нула;
• функция плътност е симетричен по отношение на средни стойности;
• най-голямата стойност на функцията на плътност - от средните стойности;
• функция плътност крива е изпъкнала и вдлъбната в обхвата на частта на покой;
• режим и средната нормално разпределение, равна на средната стойност;
• нормално разпределение е симетричен, така че коефициентът на асиметрия A = 0.

Промените, които се движат средно крива на функцията нормално разпределение плътност в посока на Ox на ос. Ако се увеличи, кривата се движи надясно, ако намалява, на ляво.

Ако промените стандартното отклонение, променящата се височината на горната част на кривата. Чрез увеличаване на стандартното отклонение на пика се намира над кривата, намаляване - ниска.

кумулативно нормално разпределение:

Стандартизирани или нормализирано нарича нормално разпределение, чиято средна стойност и стандартно отклонение.

Функцията за плътност на стандартизиран нормалното разпределение:

кумулативен стандартизирано нормално разпределение:

Фигурата по-долу показва стандартизиран кумулативната функция на нормално разпределение, която е графика на изчисления, получени с проба от данни в софтуерния пакет STATISTICA. Всъщност крива графика представлява червено, и стойностите на пробите са в близост до него.

За да се увеличи на снимката можете да кликнете върху левия бутон на мишката.

Стандартизация случайна стойност означава преход от първоначалните единици, използвани в работата на стандартизирани единици. Стандартизация се извършва с помощта на формулата

На практика, всички възможни стойности на случайна променлива често не е известна, и следователно стойностите на средното и стандартно отклонение не могат да бъдат определени точно. Те се заменя със средната стойност на наблюдения и стандартно отклонение с. Z количество на изразява отклонението на случайни променливи стойности от средната стойност на стандартните отклонения в измерването.

Почти всеки учебник на статистически данни в приложенията в края на книгата можете да намерите таблица от стойности на плътността на функция на стандартизиран нормалното разпределение и интегрирани функции. За да използвате тези стойности, трябва да се изчисли различна величина стандартизирана стойност. функция

за определяне на вероятността стандартизиран Z стойност не е по-малко от -z и не повече от + Z. където Z - произволно избрана стойност стандартизиран случайна променлива.

Пример 5. Enterprise произвежда части, чиито услуги нормално разпределена със средна 1000 и стандартно отклонение от 200 часа.

В продължение на произволно избрани части изчисли вероятността, че живота й ще бъде не по-малко от 900 часа. За да се изчисли тази вероятност, като се използва таблицата, случайната променлива, трябва първо да се стандартизира. След това можете да използвате съответната стойност на функцията таблици интегрална. получаваме:

Така че, вероятността, че животът на елементите ще бъде не по-малко от 900 часа, е 69%.